Folding Triangles

Folding an Equilateral Triangle

– Note: This is the condensed English version of the preceding three posts on that topic.

Some time ago – at the end of January 2010, as we were waiting for her train on a platform at Berlin Hauptbahnhof – my daughter Pamela obtained the rectangular wrapper of a small chocolate bar—the brand is called Kinderschokolade and is made by Ferrero—and said, a friend of hers, Florian, had shown her how to fold that wrapper into an equilateral triangle. We proceeded to deduce the condition for the length-to-width ratio of the paper as well as the folding sequence that makes it possible to turn a rectangular piece of paper into a highly symmetrical triangular shape. Florian also surmised that the dimensions of the wrapper corresponded to the Golden Ratio.

The following gives a condensed version of the three preceding post in this blog which record sequentially the insights gained into the features and properties of the folding process.  The analysis shows that
(i) the ratio of length b and width a of a piece of paper from which to fold an equilateral triangle as described below has to be p = b/a = √3 = 1.732...; the dimensions of the wrapper were found to be 99.5 and 57.5 mm, giving a length ratio of the sides of the paper of 1.73 so that the folding would indeed be successful, and
(ii) the conjecture that the paper's length ratio p would be that of the Golden Ratio (or Golden Section) b/a = φ = (1 + √5)/2 = 1.618... is justified but does actually not apply to the case of folding an equilateral triangle.


A) Geometric Analysis

It follows from its three sides being equal that the three angles of an equilateral triangle are also equal, each measuring 60º. If the side ratio of the paper equals √3, that is, if

b = a √3 . . . . . [1]

where AD = a and AB = b, then that angle can be obtained by folding one corner of a rectangular piece of paper diagonally onto the opposite corner as illustrated in the diagram at right: Folding corner D onto corner B (where it is labeled D'), makes a fold XY which forms an angle of 60º with the paper edge XB.

This follows from applying Pythagoras' theorem to the diagonal d = DB to give d² = a² +b² which, for b = a√3 equals a² + 3a² = 4a² or d = 2a. Thus, the diagonal of a paper with side ratio p = √3 is twice the length of side a and therefore, since the sine of the angle ∠ABD is a/d, one has sin∠ABD = 1/2 which makes ∠ABD = 30º. For symmetry reasons, the diagonal DB makes a right angle with the fold XY at point M, therefore ∠YXB = 60º and this is also the value of ∠DYX. Then the apex angle at corner B, ∠XBY must also be 60º.

It is further seen from the diagram, that the short side a of the paper forms the height of the equilateral triangle XBY. One also notes that the new corners X and Y of the triangle divide the sides AB and CD into the sections XB = DY = u and AX = YC = v, respectively. Between these lengths the proportionality equation

b/a = a/v  . . . . . [2]

holds because the triangles ABD and MBX (or ADX, etc.) are similar.  Between the quantities a and b, however, exists the relationship given in equ.[1] as required for folding the equilateral triangle.  From equ.[2] the lengths AX = YC = v can be calculated from a² = v·b = v·a√3 or

v = b/3 . . . . . [3]

It follows that u = 2b/3 so that the parts into which the folding corners X and Y divide the long side b of the rectangle have a length ratio u:v = 2:1.

The height h of the folded triangle is equal to the short side a of the rectangle. All of this also follows from symmetry or directly from the folding method described below in Section C.


B) Comparison to Golden Rectangle
Its sides are obtained by starting with a line of length AB = b and finding a point X that divides the line into two segments AX = v and XB = u in such a way that

b / u = u / v   . . . . . . [4]

and then using the length XB = u as the shorter side BC = a in constructing the Golden Rectangle as is illustrated in the drawing on the right.  For u = a, this expression is identical to equ.[2] above, namely b/a = a/v.

The analogy between the two cases is obvious; in particular it justifies Florian's conjecture that the sides of the rectangle with which one can fold an equilateral triangle would have lenghts in the Golden Ratio. This, however, is not actually the case because there exist relationships between the quantities a (or u) and v in the two equations [2] and [4], which are different from each other:  For folding the equilateral triangle, the relationship is only between sides a and b of the rectangle as given by equation [1] while for the Golden Rectangle the relationship is between u = a and v which add up to the quantity b as

b = a + v.   . . . . . [5]

Inserting this expression into equ.[4] to eliminate v one obtains a² = b·(b – a) which leads to the quadratic equation b² – a·b – a² = 0 that can solved to express b relative to a as

b = a (1 + √5) / 2 = 1.618...·a . . . . [6]

This is different from equ.[1] also numerically.  The ratio b/a in equ.[6] is the golden ratio φ.

The relative length of the small section v can be calculated as a fraction of the long side b as

v/b = (3 – √5) / 2 = 0.382... . . . . [7]

and from equ.[6] one has a/b = v/b = 0.618..., both adding up to 1.


C) Folding Methods
1. After folding corner D onto corner B as described above, the apex angle at B is formed when fold YB is made along the partial edge YD' (folding upwards) with corner C falling onto the paper's center M which is located on the middle of the first fold XY. Similarly, folding now corner A also onto M along edge XB (folding downwards) forms the fold DX. This finishes the folding of the equilateral triangle YBX. Both triangle surfaces look identical, each showing one short side of the rectangle as its height.

2. Instead of corner A and C going around the paper edges XB and YD' the folds DX and BY, respectively, can also be made on their own, after opening the paper on fold XY again. Then the corner A and C are on the inside of the triangle, directly touching each other as they both fall onto center M.  Closing the paper by folding D onto C again results in an equilateral triangle with both flaps inside.

Any combination of these folds can be used to give the triangle different appearances, especially if folded from a piece of paper with two different surface colors or patterns.  Incidentally, the corners X, Y, and B=D' of the equilateral triangle can be further folded to its center so that a regular hexagon is formed.

3. The analysis of the folding of an equilateral triangle from a rectangle with a side ratio of p = √3 has also suggested a way of achieving this with any paper rectangle for which p ≥ (2/3)√3 = 1.1547... . It is based on the fact that either of the short parts AX or YC fall onto the fold XY to form an angle of 60°, and that the corners A and C both lie on the center. Thus, folding any corner of a rectangular piece of paper onto the center line (parallel to the longer edge) in such a way that the fold goes exactly through the adjacent corner creates an angle of 60° in that corner between the fold and the long edge.  This is illustrated with the red lines in the diagram at right where corner D is folded as D' onto M on the center line so that the fold goes through corner A.  The green and blue lines show the effect of folding too little or too much material, respectively, as the corner D' is moved along the center line.  

With the correct position of M established, the base fold XY is made by folding the rest of the paper along the edge YD' so that the top edge aligns with the first fold AY, and finishing with folding the remainder of the paper around edge AX, forming again an equilateral triangle.  Depending on how long the paper is, the folding needs to continue until the corners B and C (not shown) fall within the area of the triangle.  Alternatively, the paper is cut along the line AX after the second fold.

In this way, the equilateral triangle can be folded from any piece of rectangular paper provided it has the minimal side ratio.  Of course, this is a somewhat imprecise method since one has to move one corner along the center line while at the same time nudging the fold through the other corners.  Also, the center line needs to be established first, for instance by folding the paper parallel to the two long edges or marking it with a pencil.  But with some skill, the result will be convincing.

4. The smallest rectangular piece of paper for which a complete equilateral triangle can be obtained is one for which the long edge, b = AB, equals just AY and YB, that is, the other sides of the triangle; here the corner B coincides with X as compared to the preceding diagram.  This case is depicted in the graphic at right.

From the analysis in part 3 above, and X coinciding here with B, one has YX = 2·YM = 2v which equals b here so that v² + a² = (2v)² = b².  This gives v = (a/3)√3 and with b = 2v the side ratio p = b/a = (2/3)√3.  It also follows directly from the cosine of ∠YAD = 30° which equals a/b and has a value of √3/2.  One obtains b = 2a/√3 which is the same result.

The fact that for this paper format, p = 1.15..., 2v = b also means that point Y divides DC in half so that its position is more easily found by folding corners C and D together and then make folds AY and BY directly, without first finding the center line.


D) General Case: Folding an Isosceles Triangle
The folding scheme discussed in section A) above and illustrated with the first diagram there is also applicable to a rectangular piece of paper with an arbitrary side ratio and will generally result in an isosceles triangle.  This is illustrated in the following diagram which depicts the situation after the first fold has been made by bringing the corner D over to corner B creating the fold XY.  Broken lines indicate the movement of the corners; after a fold is made, the new position of a corner is indicated by a singly primed letter, and after a second fold by a doubly primed one.  Thus, corner A now lies at A' and the quadrangle A'D'YX shows the (blue shaded) underside of the rectangular paper while its red-shaded front face can still be seen in the triangle BCX.

The two equivalent second steps consist of folding corner C over edge YD' creating fold BY and then corner A' over edge XB creating fold XD'. The corners A' and C then fall on positions A" and C", respectively, either within the area of the triangle XBY as shown, or outside of it.  In the latter case one continues folding the corners in until they do.  The edges XB and YB of triangle XBY are of equal length but in general different in length from edge XY, therefore, XBY is an isosceles triangle.

The relationships between some of the characteristic quantities which appear in the folding process will be analyzed in the following.  As before, the ratio of the lengths of the long side, b, and the short side, a, of the folding paper rectangle is designated as the parameter p = b/a.

The first fold—corner D falls as D' onto corner B—establishes the fold angle α at Y as ∠XYD' and also at X as ∠YXB.  Since ΔYMD' and ΔDAB are similar, ∠BDA = α and, therefore, tan α = b/a = p.  The apex angle β is then formed as ∠XBY by the edge parts XB and YD'.  These edges, along which the second folds are made, together with the short edges a = A'D' and BC, respectively, form the edge angle γ = ∠A'D'X = ∠CBY.

Between these angles and lengths the following relations then hold:

2α + β = π  and  β + γ = π/2.  It follows that α = β/2 + γ.

From the diagram one sees further that ∠BYC = β so that cos β = sin γ = v/u, see also below.

The length f of the first fold XY follows from the similarity of the triangles created in the folding process, as expressed by f/d = a/b = 1/p, which can be written as

f = d/p = (a/p) √(p² + 1)

where BD = AC = d = √(a² + b²) = a √(p² + 1) is the diagonal of the paper rectangle.  The length u of the two isosceles legs XB and YD' can also be expressed in terms of the side ratio p as

u = (a/2p) (p² + 1) = (a/2) (p + 1/p)

and similarly for the length v of the remaining part of the long edge b, namely v = (a/2)(p – 1/p).  The ratio of those two parts into which points X and Y divide the long edge of the rectangle is, therefore,

v/u = (p² – 1) / (p² + 1).

With these expressions the three angles can be directly obtained from the paper format.  The fold angle is simply given by α = arctan p.  The apex angle β and edge angle γ are derived from β = arccos(v/u) and γ = arcsin(v/u), respectively.  Also, since cot β/2 = b/a = p, the apex angle can be calculated directly from β = 2·arctan(1/p).


E) Other Properties of Interest
Some particular values of the parameter p, which describes the shape of the rectangular paper, are briefly discussed here.
• Folding a paper with the trivial value of p = 1, i.e. a square with b = a, gives a diagonal for the first fold XY and doesn't allow the second folds to be made.  The apex angle is 90°.
• The paper formats in the DIN A ... C series for which p = √2 require a third folding to reach a triangular shape because after the second folding the corners A" and C" fall beyond the first fold XY and need to be folded around that edge in order to come within the area of the triangle.  Only for p ≥ √3 (provided p ≤ 1+√2 = 2.141... as discussed below) two folding steps suffice.  The apex angle is 70.2°.
• Folding an isosceles from a rectangle with sides in the Golden Ratio p = φ = (√5 + 1)/2 = 1.618... will also require these third folding steps; its apex angle has a value of 63.4°, only slightly larger than that for the equilateral triangle.
• In this context one can also ask what side length ratio p will make the first fold's endpoint X or Y divide the long edge of the rectangle in the Golden Ratio, that is such that u/v = φ = (√5 + 1)/2 which is equivalent to having v/u = (√5 – 1)/2 = 0.618... .  This occurs for p = √[(φ+1)/(φ–1)] or p = √[√5+2] = 2.058... .  Here the apex angle is 51.8°.
• The transition at p = √3 = 1.732... is also characterized by the apex angle being equal to the fold angle, β = α, with the triangle being equilateral and the corners C" and A" meeting at the middle of the first fold XY.
• Another interesting transition is reached when the edge angle γ becomes equal to the apex angle β so that  γ = β = 45°; this happens for a length ratio of p = (√2 + 1) = 2.414... .  Then the corner C" (second folding) falls exactly on the lower long edge (and A" on the upper one).  For values of p > (√2 + 1) the corners will extend beyond the triangle area and need to be folded a third time, now around the edges XB and YD', as mentioned above.  The larger p gets, the more often another folding sequence must be added to obtain increasingly pointed isosceles triangles.

In addition to the three angles α, β, and γ, the lengths u and v into which the long edges are partitioned, and the length of the first fold XY = f , there are two other quantities of interest: (i) the area A_∆ of the folded isosceles triangle, and (ii) the position of corner A" (and C" as its mirror image with respect to the diagonal BD) after the second folding operation.

(i) The area of the triangle is half of that of the rhombus XBYD from which it was obtained by folding D onto B; the area of the rhombus A_◊ = f·d/2 = a·u from which

A_∆ = (a²/4p) (p² + 1) = (a/2)² (p + 1 / p) .

A simpler expression for this is obtained when the length d of the rectangle diagonal is introduced again, giving A_∆ = (d/2)²/p.  The areas of the triangles BCY and D'A'X folded over in the second folding sequence are the complements of the rhombus to form the initial rectangle with area A_rctg = a·b = a²·p.  Relative to this area, the area of the triangle is

A_rel = A_∆ / A_rctg = (p² + 1) / (4p²) = (1 + 1/p²) / 4 = (d / 2b)².

For the case of the equilateral triangle, that is, for p = √3, these values are A_∆ = a²/√3 and A_rel = 1/3.

(ii) In the second folding step corner C comes to lie at position C" (and A at A" symmetrically with respect to the diagonal).  In a coordinate system centered at the mid-point M of the rectangular paper (in the middle of fold XY), and with axes parallel to the rectangle's edges, each having a unit length of a/2, the location of corner C is described by coordinates (p,1).  After the second folding point C is at C" where its coordinates are (x_s,y_s), that is C(p,1) → C"(x_s,y_s).  Corners C" and A" are mirror images of C and A with respect to the folds YD' and XB.  Using analytical geometry, the following expressions are found for the coordinates of C" as a function of the shape parameter p of the rectangle:

x_s = p (p² – 3)² / (p² + 1)²  and  y_s = [ 4p² – 3(p² – 1)² ] / (p² + 1)²  .   .   .   .   .   [8]

For p = 1, i.e., a square, C" stays on C, that is x_s = y_s = 1.  For the rectangle with p = √3 which gives the equilateral triangle, C" and A" coincide on the center point M, that is x_s = y_s = 0.  For p > √3 the corners C" and A" approach the long sides of the (isosceles) triangle and reach them for p = (√2 + 1) = 2.414... as mentioned above. Point C" then has y_s = –1 which is at the lower long edge of the rectangle, coinciding with that of the triangle; its other coordinate at that point is x_s = √2 – 1 = 0.414... . For larger values of p the folding of the triangle requires additional folding sequences in order to place the corners within the area of the triangle.

The diagram at right shows the position of C" in the xy–coordinate system introduced above.  The values of p increase along the curve from the top right to the bottom.  The first point C"(1,1) corresponds to p = 1; point C"(0,0) is associated with p = √3; the last point at C"(0.414...,–1) is reached for p = 2.414... as discussed above.

The latter range leads from an exact equilateral to an isosceles triangle in just two foldings (the second one consisting of two symmetrical motions, C → C" and A' → A").  The apex angle will decrease from β = 60° for p = √3 to β = 45° for p = √2 + 1; at that point the fold angle α = 67.5°.

The discussion above assumes that the folding starts with a rectangular piece of paper with the long edge oriented horizontally, as described by a value for the ratio of its sides p = b/a > 1 where b is the length of the horizontal edge.  Extending the range of this parameter to smaller values, i.e., p < 1 essentially means to fold a rectangle with its long edge oriented vertically.  The folding sequence then gives a mirror image of the shapes obtained with p > 1.  This can be also described by saying that folding corner D onto corner B for the first fold when p < 1 is equivalent to folding corner A to corner C when p > 1 (i.e., with a horizontally oriented paper).  In any case, the expressions for the coordinates of corner C" given above in equ.[8] are not valid for p < 1 unless one first performs the coordinate transformation of mirroring the x- and y-axes along the +45° direction, a process which essentially restores the horizontal orientation of the longer edge of the rectangular paper.

It would be more useful and much more intuitive to calculate the distances of points C" and A" to the first fold XY and to the symmetry line of the isosceles triangle, i.e., its height. That means setting up the coordinate system parallel to the fold XY with length f and the diagonal DB of length d, using as unit f/2 for both axes. Thus, the corners X and Y of the isosceles triangle will have the coordinates (0, –1) and (0, 1), respectively, and the apex B(=C') lies at (p, 0).  This approach is explored in a different blog called Isosceles Acute Triangles.

Another parameter of interest in this coordinate system is the distance of the points A" and C" from the long edges of the isosceles triangle: it determines whether another folding sequence will be needed to finish the triangle, depending on whether those corners fall already inside or still outside of the triangle's area.


F) Epilog 
Finally, the question should be asked of the engineer who designed the wrapper for the Kinderschokolade bars why the rectangular piece of material has a side ratio of √3.  Is there a standard format for that purpose?  Or did s/he consciously select the shape so that an equilateral triangle could actually be folded?  I doubt that it happened by pure chance.  An inquiry to Ferrero, sent by e-mail from their web site, has so far not resulted in an answer.

Comment: The earlier posts to this blog, see below, constitute the German version of the material above, presented in three installments written as insights into the folding process developed and its formal description evolved.  Let me know if there is something else that could be said about  this topic ... or if you find any errors. 

Allgemeiner fall: Gleichschenklige dreiecke

Die in den ersten beiden blog-beiträgen diskutierte faltung eines rechteckigen stück papiers (mit dem speziellen seitenverhältnis von √3) ergibt ein gleichseitiges dreieck. Mit einem beliebigen, rechteckigen stück papier wird mit einer der dort beschriebenen methoden dagegen allgemein ein gleichschenkliges dreieck gefaltet: Eine ecke des papiers wird auf die diagonal gegenüber liegende ecke gefaltet, z.b. die ecke D auf B (dort als D' identifiziert), wobei die ecke A nach A' geht. Der dabei entstehende falz XY, der die beiden langen kanten b in die teilkanten der länge DX = YB = u und XC = AY = v teilt, bildet die basis des gleichseitigen dreiecks. Die beiden anderen seiten werden durch falten der teildreiecke XBC und YA'D' zur papiermitte hin erzeugt, sodass die falze XD' und YB entlang der teilkanten u enstehen, wie aus dem diagramm ersichtlich. (Einige der bezeichnungen der hier gezeigten faltung weichen von den diagrammen im ersten und zweiten posting ab, außerdem werden neue bezeichnungen für die teilkanten eingeführt.)

Das nebenstehende diagramm zeigt die verhältnisse nach dem ersten falten. Die oberseite des papiers ist rötlich gefärbt, die unterseite bläulich. Gestrichelte linien deuten die bewegung der ecken beim falten an. Nach einer faltung ist die neue position einer ecke durch einen einfach gestrichenen, nach der zweiten faltung durch einen doppelt gestrichenen buchstaben gekennzeichnet.
Ein bestimmtes papierrechteck der breite b ist durch das seitenverhältnis p = b/a gekennzeichnet; a ist die länge der kurzen kante. Im folgenden werden die beziehungen zwischen einigen charakteristischen größen untersucht, die beim falten auftreten.
Der falzwinkel α (alpha) entsteht mit dem ersten falz bei X als ∠YXD' und bei Y als ∠XYB. Der apexwinkel β (beta) wird dann von den teilkanten YB und XD' gebildet. Diese kanten, längs denen die zweiten falze gefaltet werden, bilden mit den kurzen kanten a den kantwinkel γ (gamma).
Zwischen den winkeln und längen erkennt man die folgenden beziehungen:

α + β/2 = π/2 und β + γ = π/2 .

Daraus folgt auch, dass α = β/2 + γ ist.

Die lage des ersten falzes, und damit auch der falzwinkel α, ist durch die geometrie des rechtecks bestimmt—ecke D kommt als D' auf B zu liegen—was zu der beziehung p = tan α führt. Daraus ergibt sich direkt die größe des falzwinkels zu α = arctan p. Der apexwinkel β wird von den kanten YB und XD' gebildet; dann gilt auch cot β/2 = p oder auch β = 2·arctan(1/p). Aus der zeichnung folgt gleichermaßen, dass auch ∠CXD' = β ist, woraus sich cos β = v/u ergibt.

Die länge f des ersten falzes XY ergibt sich aufgrund der ähnlichkeit der beim falten auftretenden rechtwinkligen dreiecke aus der beziehung f/d = a/b = 1/p zu

f = d/p = (a/p)·√(p² + 1)

wobei BD = AC = d = √(a² + b²) = a√(p² + 1) die diagonale des papierrechtecks ist.

Die länge u der schenkel lässt sich mithilfe des rechtwinkligen dreiecks, in dem es hypotenuse ist, ebenfalls in abhängigkeit des seitenverhältnisses p ausdrücken als

u = (a/2p)·(p² + 1) = (a/2)·(p + 1/p) .

Für die länge v der anderen teilstrecke findet man gleichermaßen v = (a/2p)·(p² – 1). Das verhältnis der teilstrecken u und v ist also v/u = (p² – 1)/(p² + 1). Damit lässt sich dann auch der kantwinkel γ = arcsin[(p² – 1)/(p² + 1)] direkt vom verwendeten papierformat berechnen. Ähnlich gilt für den apexwinkel β = arccos[(p² – 1)/(p² + 1)].

Einige werte von p sind von besonderem interesse und werden hier kurz vorgestellt. Der triviale wert
von p = 1, d.h. ein quadrat mit b = a, ergibt einen diagonalen ersten falz und erlaubt keine zweite faltung. Zum papierformat DIN An, durch p = √2 gekennzeichnet, ist nur zu bemerken, dass zur bildung des gleichschenkligen dreiecks eine dritte faltung nötig wird, damit die ecken C" und A" innerhalb der dreiecksfläche zu liegen kommen, nämlich um den falz XY herum. Erst für p ≥ √3 (und solange p ≤ 1+√2 = 2.141... ist, wie weiter  unten gezeigt wird) genügen zwei falzprozesse, um ein dreieck zu bilden.

Die faltung eines rechtecks, dessen seiten im verhältnis des goldenen schnitts, g = (√5 + 1)/2, stehen, also p = g = 1.618..., benötigt damit also auch noch einen weiteren faltprozess, damit das gleichschenklige dreieck vollständig gefaltet ist; der apexwinkel ist dabei mit 63,4° nur wenig größer als beim gleichseitigen dreieck.

In diesem zusammenhang kann man auch fragen, für welches seitenverhältnis der erste falz die lange seite im verhältnis des goldenen schnitts teilt, also so, dass u/v = g = (√5 + 1)/2 oder v/u = (√5 – 1)/2 ist. Das wird für p = √[(g + 1)/(g – 1)] oder p = √(√5 + 2) = 2.058... erreicht.

Der übergang bei p = √3 ist übrigens auch dadurch gekennzeichnet, dass dabei der apexwinkel beta gleich dem faltwinkel alpha wird, β = α , und dass das gefaltete dreieck dann, wie bekannt, ein gleichseitiges ist. Eine andere interessante grenze wird für γ = β erreicht, also wenn der kantwinkel gamma gleich dem apexwinkel beta wird, was für ein seitenverhältnis von p = (√2 + 1) = 2,414... der fall ist. Dann liegt die ecke C" genau auf der unteren langen kante (und A" auf der oberen).

Außer den drei winkeln und dem teilstreckenverhältnis sowie der falzlänge f sind noch zwei andere größen von interesse: (i) die fläche F_∆ des gefalteten gleichseitigen dreiecks, und (ii) die position der ecken C" und A", die beim zweiten falzen der dreiecke XCB und YA'D' an den teilkanten XD' und YB sozusagen gespiegelt wurden.

Die fläche des gleichseitigen dreiecks ist die hälfte der raute BXDY, aus der es durch falten der ecke D auf B entsteht; die fläche der raute ist aber F_◊ = f·d/2 = a·u sodass

F_∆ = (a²/4p)·(p² + 1) = (a/2)²·(p + 1/p) .

Dieser ausdruck wird viel einfacher (und anschaulicher), wenn man die länge d der papierdiagonalen wieder einführt, womit man F_∆ = (d/2)²/p erhält.

Die flächen der beiden im zweiten falzschritt umgelegten dreiecke XCB und YA'D' ergänzen die rautenfläche zur größe des rechtecks a·b = a²·p. Im verhältnis zur rechteckfläche des faltpapiers F_ab = a²·p wird die dreiecksfläche dann

A_rel = F_∆/F_ab = (p² + 1)/(4p²) = (1 + 1/p²)/4 = (d/2b)² .

Für den fall des gleichseitigen dreiecks, also für p = √3, wird F_∆ = a²/√3 und A_rel = 1/3.

Die ecken C und A fallen beim zweiten falten auf die symmetrisch zum mittelpunkt M des rechtecks liegenden punkte C" und A".  Führt man ein achsenkreuz mit ursprung M ein, dessen achseneinheiten gleich a/2 sind, dann hat punkt C die koordinaten (p,1); nach der faltung geht C in C" über und der punkt C'' habe die koordinaten (x_S,y_S), d.h. C(p,1) → C"(x_S,y_S). C und A' werden dabei an den falzen XD' und YB gespiegelt.  Mithilfe der analytischen geometrie findet man für die koordinaten von C" als funktion des seitenverhältnisses p folgende ausdrücke

x_S = p(p² – 3)²/(p² + 1)²    und    y_S = [10p² – 3(p⁴ + 1)]/(p² + 1)² .

Für p = 1, also einem quadrat, bleibt C" auf C liegen, also x_S = y_S = 1. Für das anfangs diskutierte papierrechteck mit p = √3 (s. blog 1) fallen C" und A" zusammen auf den mittelpunkt M, d.h. x_S = y_S = 0. Wird p > √3, bewegen sich C" und A" auf die langen rechteckkanten zu, welche für p = (√2 + 1) = 2,414... erreicht werden, d.h. für C" wird y_S = –1. Für größere werte von p werden zur faltung des gleichschenkligen dreiecks zusätzliche faltungen nötig, um die über die langen kanten überstehenden ecken C" und A" zurück auf das dreieck zu bringen, ähnlich wie im bereich 1 ≤ p ≤ √3 für C' und A' nach dem ersten falten.

Die nebenstehende abbildung zeigt die lage von C" im xy–koordinatensystem an; auf der x–achse sind die werte von x_S und auf der y–achse die von y_S aufgetragen. Die parameterwerte p nehmen entlang der kurve von oben nach unten zu. Der erste punkt mit den koordinaten (1,1) entspricht dem wert p = 1, der punkt (0,0) im koordinaten-ursprung gehört zu p = √3 = 1,732... und der letzte punkt ganz unten, (0,4,–1), wird für p = 2,414... erreicht, wie oben diskutiert.

Gleichseitiges dreieck von beliebigem rechteck

Das überraschende bei der faltung eines gleichseitigen dreiecks mit dem einwickelpapier des kinderschoko-ladenriegels ist wohl, dass für das längenverhältnis der seiten dieses rechtecks—innerhalb der messgenauigkeit von etwa 0.2 mm—genau √3 = 1,732... gefunden wird. Es ist unwahrscheinlich, dass die dimensionen des riegels dieses verhältnis erfordern. Wenn es zu verpackungszwecken oder ähnlichem nicht schon ein genormtes papierformat gibt—wie z.b. das DIN A format für schreibpapier, für das √2 = 1,414... gilt—könnte man vielleicht annehmen, dass der verpackungsingenieur beim produktentwurf dieses besondere seitenverhältnis für das papierchen bewusst so gewählt hat, dass damit gleichseitige dreiecke gefaltet werden können.

Solche idiosynkratien sind sicher nicht selten. Wenn keine objektiven entscheidungskriterien vorhanden sind, wird gerne nach irgendwelchen persönlichen vorlieben gewählt: runde zahlen, ganzzahlige vielfache, etc. Andererseits könnte man beim verpacken von genussmitteln vermuten, dass rationale gesichtspunkte das format des einwickelpapiers bestimmen: minimaler materialverbrauch bei ausreichendem schutz des inhalts, etc. In beiden fällen erscheint es ungewöhnlich, dass ein irrationales seitenverhältnis wie √3 auftritt. Wenn es jedoch in der tat eine papiernorm wäre, was ist dafür dann die grundlage?

Beim DIN A papierformat soll beim halbieren eines papierbogens wieder das gleiche seitenverhältnis erhalten werden, also b/a = a/(b/2) oder b² = 2a² woraus b = a√2 folgt, wie bekannt. Aber wozu sollte ein seitenverhältnis von √3 dienen? – wozu wäre das gut?

Es gibt auch eine methode, ein gleichseitiges dreieck mit einem rechteckigen stück papier zu falten, das ein anderes seitenverhältnis als √3 hat. Der im vorangehenden blogpost unter teil B) (faltungsmethoden) beschriebene weg, die ecke D auf den mittelpunkt M zu falten, produziert an der ecke A einen falz, der als spitze direkt in dieser ecke A endet. Dann macht der falz AX einen winkel von genau 60° mit der unterkante AB.

Wenn das papier lang genug ist, kann der falz unter diesem winkel auch so erzeugt werden, dass zuerst die mittellinie des papiers, parallel zur langen seite, bestimmt wird, z.b. mit bleistift diese hilfslinie im abstand a/2 zur langen seite zeichnen, oder durch entsprechendes leichtes falten des papiers. Dieses verfahren ist im nebenstehenden diagramm dargestellt.

Man bringt eine ecke (hier die linke obere) auf diese mittellinie—was durch punktierte pfeile angedeutet ist—und verschiebt sie solange, bis beim falten der falz genau durch die andere ecke der kurzen seite a geht, unten links. Im diagramm sind mit grünen und blauen linien die falze (gestrichelt) und papierkanten eingezeichnet, die sich durch zu geringen oder zu weiten abstand des zielpunktes M von der seite a ergeben; in rot ist der fall gezeigt, in dem der falz genau durch die ecke geht und die kante der länge u zusammen mit dem falz und der unterkante selbst bereits das gleichseitige dreieck bilden (mit der verlängerung der kante u zur unteren papierkante).

Die bedingung, dass beim verschieben der ecke entlang der mittellinie der entstehende falz durch die gegenecke geht, ersetzt sozusagen den zweiten geometrischen ort, der auf der mittellinie die lage des mittelpunktes M gibt, wenn ein rechteck das seitenverhältnis von √3 hat, nämlich als mitte der langen seite b. Der so erzeugte falz macht genau den gleichen winkel von 60° mit der langen seite wie vorher AX mit AB, und der umgefaltete kurze abschnitt u der langen gegenkante gibt die richtung der dritten seite des gleichseitigen dreiecks, welche dann mit einem weiteren falz des papiers dort festgelegt wird. Hier hilft, dass der dabei zu faltende restliche abschnitt der langen gegenkante genau auf den ersten falz zu liegen kommt.

Auf diese weise kann schon mit einem papier, dessen breite b gerade nur der seite des gleichseitigen dreiecks entspricht, ein solches dreieck gefaltet werden (die kurze seite a ergibt ja seine höhe). Für dieses papier ist also ein minimales seitenverhältnis des faltpapiers b/a = (2/3)·√3 = 1,1547... erforderlich. Die abbildung rechts zeigt die verhältnisse. Der apex halbiert die lange seite b, was die faltung besonders einfach macht, weil die funktion der mittellinie weniger wichtig wird.
Bei diesem fast quadratischen papier formt die lange unterkante die dritte seite des dreiecks; diese seite wird dabei also nicht wie die beiden anderen seiten durch einen falz gebildet. Damit auch diese seite gerade schon aus einem vollen falz bestehen kann, muss b/a = √3 sein; das ist, wie im vorhergehenden blogpost besprochen, die kleinste größe für ein voll gefaltetes gleichseitiges dreieck. Mit papieren noch größerer breite, b/a > √3, bekommt man dreiecksseiten mit doppelfalzen an einer oder mehreren seiten.

Es ist interessant, dass ich zwei papierformate gefunden habe, die zwar nicht exakt, aber doch ziemlich genau gerade das doppelte des minimalen seitenverhältnisses zeigen, also b/a = (4/3)·√3 = 2,309..., nämlich—interessanterweise— wieder ein einwickelpapier der firma Ferrero für deren produkt einer gefüllten vollmilchschokolade mit waffel und nougatcremefüllung names "duplo", mit dem abmessungen b x a = 147,0 x 62,5 [mm], wobei allerdings die durchsichtige plastikfolie, auf der das rechteck mit der firmeninformation aufgedruckt ist, mit a = 67 mm etwas höher ist.

Und als zweites beispiel die eintrittskarte für filmvorführungen bei den diesjährigen 61. berliner filmfestspielen, der Berlinale, die, nachdem der einlasscoupon abgerissenen ist, 146,5 x 63,0 [mm] misst, siehe nebenstehendes foto. Diese beiden rechtecke haben seitenverhältnisse von 2,352 (bedruckt) bzw. 2,325, was sehr nahe am theoretisch erforderlichen wert von 2,309 liegt. Beide eignen sich vorzüglich zur faltung eines gleichseitigen dreiecks, was ich in den langen wartezeiten vor beginn der filme ausgiebig probiert habe. Das ist nebenstehend in einer bildfolge gezeigt in der auf dem ersten bild sowohl die vertikalen halbierungsfalze (mitte und beide hälften) als auch die eigentlichen dreiecksfalze zu sehen sind.

Man erkennt auch, dass die ersten, von den beiden oberen ecken ausgehenden falze durch den halbierungsfalz der rechten und linken hälften gehen. Diese falze sind im nächsten bild gezeigt; rechts liegt jetzt die ecke vorn, links ist sie hinter dem papier. Der nächste falz bringt die rechte papierhälfte nach unten und formt dabei die spitze des linken gleichseitigen dreiecks.
Im letzten schritt wird die grundseite gefalzt, indem man die untere spitze vorne herum nach oben bringt und auf die obere spitze legt.

Das format ist deshalb besonders gut dazu geeignet, weil sich durch halbierung der langen seite die einheit der seitenlänge des gleichseitigen dreiecks sowie durch weiteres halbieren auch die position des jeweiligen gegenüberliegenden apex dazu festlegen lässt. Damit wird die faltung besonders einfach; außerdem ist das ergebnis hochsymmetrisch bezüglich des faltungsbeginns von beiden kurzen seiten her.
Hier erhebt sich jedoch auch wieder die frage nach der absicht hinter den abmessungen. Beide so unterschiedlich verwendete papiere sind eigentlich genau gleich groß und folgen möglicherweise doch einer papiernorm. Dieser verdacht wird durch die beobachtung bestätigt, dass die LINDOR schokoladekugeln der firma Lindt mit einem einwickelpapier einzeln verpackt sind, dessen aluminisierter und blau bedruckter teil die abmessungen a = 54 mm bzw. 56 mm und b = 95 mm aufweisen. Das seitenverhältnis ergibt sich zu 1,732 + 0,027 bzw. –0,036, also nahe genug am wert von √3 als dass es bloßer zufall sein könnte.

Ein weiterer fall ist das einwickelpapier für die einzelnen stücke der Dove milk chocolate der firma Mars, für das meine tochter Janka folgendes entdeckt hat: Wenn man das papierchen so faltet, dass die längere seite halbiert wird, erhält man ebenfalls ein papierformat mit dem seitenverhältnis von 1,73... und kann damit auch leicht ein gleichseitiges dreieck falten.

Entdeckung und erste analyse

Als Pamela hier auf besuch war, hat sie mir gezeigt, wie man aus dem rechteckigen einwickelpapier eines einzelnen riegels einer kinderschokolade ein gleichseitiges dreieck falten kann. Diese kinderschokolade wird von Ferrero hergestellt; jedes einwickelpapierchen ist auf einer seite aluminisiert und auf der anderen rot bedruckt.

Einer ihrer bekannten in Köln, Florian, hatte ihr diese faltung vorgeführt und vermutet, das seitenverhältnis des papiers entspräche dem goldenen schnitt. Die folgende analyse zeigt:

(i) Die faltung eines einwickelpapiers dieser kinderschokolade kann in der tat exakt ein gleichseitiges dreieck ergeben, weil das seitenverhältnis des papiers wie dazu erforderlich gleich der quadratwurzel aus drei ist, b/a = √3 = 1,732... ; gemessen wurde a = 5,72 cm und b = 9,90 cm.

(ii) Die vermutung, das seitenverhältnis sei das des goldenen schnitts, b/a = (1+√5)/2 = 1,618... , ist zwar berechtigt, trifft jedoch hier nicht zu.

I. Gleichseitiges dreieck
Alle drei seiten sind gleich lang (hier mit d bezeichnet); ebenso sind die drei winkel alle gleich und betragen 60°.

A) Faltungsanalyse

Der erste Falz AX, der an der oberkante eine stumpfe ecke X erzeugt, muss so erfolgen, dass dieser mit der unterkante des papiers einen winkel von 60° bildet. Wie aus der zeichnung ersichtlich, geschieht das in der ecke A, wenn die seitenkante AD mit der länge so gelegt wird, dass sie mit der unterkante AB der länge b einen winkel von 30° bildet. Zum falten benötigt man entweder eine hilfslinie, längs der die seitenkante AD ausgerichtet werden kann, oder einen zielpunkt, auf den die ecke D zu liegen kommt.

Beides ist am einfachsten realisierbar, wenn die diagonale AC des papiers einen winkel von 30° mit der basis AB des papiers bildet, d.h., wenn der sinus des winkels ∠CAB gleich 1/2 ist. Dann fällt auch die ecke D genau auf den mittelpunkt M des papiers. Die diagonale bildet also mit den langen seiten den erforderlichen winkel, wenn das seitenverhältnis AB/BC gleich dem cotangens von 30° ist, d.h. wenn b/a = √3 ist, oder anders geschrieben,

b = a·√3 .   .   .   .   [1]

Nach dem falten halbiert dann die kante XM den stumpfen winkel AXC von 120° bei X, wodurch bei X ein weiterer winkel von 60° gebildet wird, der winkel ∠AXM. Die verlängerung der kante XM trifft die unterkante in einem punkt X'. Den falz XX' erhält man, wenn die ecke C auf die ecke A gebracht wird. Wie unten erwähnt, s. B) 2. 'symmetrische faltung', kann man auch als erstes den falz XX' falten, also die diagonal entgegengesetzten ecken A und C aufeinander legen. Mit den strecken AX = XX' = AX' = X'C sind damit bereits die seiten d des gleichseitigen dreiecks etabliert.

Aus symmetriegründen erhält man den punkt X' auch durch falten der ecke B auf den mittelpunkt M, wodurch der falz CX' entsteht, ähnlich wie bei AX oben.

B) Faltungsmethoden
Anstatt zuerst die diagonale zu falten, um dann die seite AD des papiers entlang dieser hilfslinie zu legen, kann man auch zuerst den mittelpunk M durch quer- und längsfalten des papiers bestimmen (wie im diagramm durch gestrichelte linien durch M angedeutet) und dann die ecke D auf M legen—M liegt ja auch auf der diagonalen AC—um den falz AX durch glattstreichen des somit gefalteten papiers zu erhalten.

Dann gibt es zwei verschiedene faltsequenzen, die beide zu einem gleichseitigen dreieck führen. Die beiden dreiecke sehen jedoch verschieden aus. Ohne beschränkung der allgemeinheit wird als der erste schritt definiert, die ecke D auf die mitte M zu falten, wie oben diskutiert, womit die erste seite des dreiecks erzeugt wird.

1. Asymmetrische faltung
a) Der zweite schritt ist dann, das papier entlang der strecke XM zu falten, wobei die ecke C auf die ecke A zu liegen kommt. Dies erzeugt die zweite seite des dreiecks und legt gleichzeitig den teilpunkt X' auf der unteren langen kante fest. Danach wird punkt B nach hinten auf die mitte M gelegt, was die dritte dreiecksseite X'C entlang der unteren teilkante AX' erzeugt. Damit ist das gleichseitige dreieck fertig gefaltet.  Von vorne ist das dreieck einheitlich, auf der rückseite markiert die freie kante BC die höhe des gleichseitingen dreiecks.
b) Anstatt im zweiten schritt das papier nach vorne zu falten, kann es auch nach hinten gefaltet werden, was ein dreieck ergibt, dessen höhe auf der rückseite durch die beiden kurzen kanten AD und BC markiert hat. Wenn das papier verschiedenfarbige vor- und rückseiten hat, geschieht das in den zwei verschiedenen farben.

2. Symmetrische faltung
Hier ist der zweite schritt, punktsymmetrisch zum ersten, durch falten der ecke B auf den mittelpunkt M den falz X'C zu machen. Das ergibt eine raute, die vier rechtwinklige dreiecke zeigt. Der letzte schritt ist das falten von C auf A, was den dritten falz XX' macht; das dreieck ist damit fertig.  Dieses dreieck zeigt auf beiden seiten die gleiche papierseite, also färbung.

Soweit ist beschrieben, wie Pamela und ich anfangs das gleichseitige dreieck falteten. Dazu musste aber zuerst die mitte M des rechtecks bestimmt oder eine diagonale gefaltet werden. Es geht jedoch noch viel einfacher, weil man nämlich mit der letztgenannten faltung beginnen kann: Im ersten schritt wird eine ecke des rechtecks auf die diagonal entgegengesetzte ecke gelegt, also z.b. A auf C gefaltet. Damit hat man mit dem falz XX' sofort eine seite des gleichseitigen dreiecks und braucht jetzt nur noch ecke B über die kante AX' zur mitte zu falten (falz X'C) und dann gleichermaßen die ecke D über die kante XC (falz AX).

3. Sechseck–faltung
Nach dem zweiten schritt der symmetrischen faltungsart kann man auch die beiden jetzt spitzen ecken A und C rückwärts auf den mittelpunkt M bringen. Das ergibt ein regelmäßiges sechseck mit rotationssymmetrisch alternierenden vorder- und rückseiten des papiers.

C) Weitere eigenschaften der faltung
Der erste falz legt den punkt X auf der langen kante fest, der diese so teilt, dass der längere teilabschnitt XC der seitenlänge d des gleichseitigen dreiecks entspricht; ebenso der zweite falz mit dem punkt X' bei der gegenüberliegenden kante, AX' = d. Das ist auch die länge der falze AX und CX' ebenso wie XX'.

Für die kürzeren teilabschnitte DX = X'B = c auf den oberen und unteren langen kanten des papiers gilt wegen der ähnlichkeit der rechtwinkligen dreiecke ABC und ADX die beziehung

c/a = a/b  .   .   .   .   [2]

oder a² = b·c . Zwischen a und b gibt es jedoch die oben abgeleitete beziehung, gl. [1], die für die faltung eines gleichseitigen dreiecks eine bedingung ist. Damit erhält man einen ausdruck für die länge c des teilungsabschnitts DX = X'B , nämlich

c = b/3  .   .   .   .   [3]

Dies folgt auch aus symmetrieüberlegungen, wenn man von den teilungspunkten X und X' auf die jeweils gegenüberliegenden kanten das lot fällt.

Die dreieckshöhe h hat übrigens auch die länge der kurzen kante a und diese ist gleich der halben länge der diagonalen AC, also h = a. Dies ist aus der oben beschriebenen (asymmetrischen) faltungsmethode direkt ersichtlich.

II. Vergleich mit anderen papierformaten


A) Der goldene schnitt
Als "goldener schnitt" wird die teilung einer strecke AB von der länge b in einem punkt X bezeichnet, der so liegt, dass die teilstrecken XB = c und AX = a sich zueinander genauso verhalten wie AX zur ganzen strecke AB, also

c/a = a/b  .   .   .   .   [4]

oder a² = b·c. Dies ist identisch mit gl. [2] oben, wo sie für die faltung des gleichseitigen dreiecks gefunden wurde.

Konstruiert man aus den längen a und b wieder ein rechteck wie hier gezeigt, so sieht man die analogie zwischen den zwei fällen, vgl. die beiden zeichnungen. Insbesondere ist Florians vermutung auf grund dieser beziehung gerechtfertigt, wenn sie auch nicht auf das seitenverhältnis des rechtecks zutrifft, das für die faltung eines gleichseitigen dreiecks taugt.

Der grund dafür ist, dass zwischen den beiden längen a und b hier eine andere beziehung besteht als mit gl. [1] für die bedingung gefunden wurde, einen winkel von 60° zu erhalten, nämlich b = a·√3. Beim goldenen schnitt hat man dagegen eine beziehung zwischen a, b und auch c, welche die teilung der strecke AB beschreibt, nämlich

c = b – a .   .   .   .   .    [5]

In gl. [4] eingesetzt, um c zu eliminieren, ergibt sich über b·(b – a) = a² die quadratische gleichung b² – a·b – a² = 0, woraus sich b im verhältnis zu a bestimmen lässt. Man erhält (die positive lösung)

b = a·(1 + √5)/2  .   .   .   .   [6]

was sich vom ergebnis für das gleichseitige dreieck, gl. [1], auch numerisch unterscheidet. Das viereck nach dem goldenen schnitt hat daher ein um 7% höhere seite a als das einwickelpapier.

Zum vergleich mit gl. [3] oben kann auch die kleine strecke XB = c als teil der ganzen strecke AB = b ausgedrückt werden. Man findet

c/b = (3 – √5)/2 = 0,382 .    .   .   .   .   [7]

Für die große teilstrecke AX = a ist das verhältnis a/b = 0,618, was sich aus gl. [6] ergibt; man sieht, dass die beiden werte sich zu eins addieren.