Allgemeiner fall: Gleichschenklige dreiecke

Die in den ersten beiden blog-beiträgen diskutierte faltung eines rechteckigen stück papiers (mit dem speziellen seitenverhältnis von √3) ergibt ein gleichseitiges dreieck. Mit einem beliebigen, rechteckigen stück papier wird mit einer der dort beschriebenen methoden dagegen allgemein ein gleichschenkliges dreieck gefaltet: Eine ecke des papiers wird auf die diagonal gegenüber liegende ecke gefaltet, z.b. die ecke D auf B (dort als D' identifiziert), wobei die ecke A nach A' geht. Der dabei entstehende falz XY, der die beiden langen kanten b in die teilkanten der länge DX = YB = u und XC = AY = v teilt, bildet die basis des gleichseitigen dreiecks. Die beiden anderen seiten werden durch falten der teildreiecke XBC und YA'D' zur papiermitte hin erzeugt, sodass die falze XD' und YB entlang der teilkanten u enstehen, wie aus dem diagramm ersichtlich. (Einige der bezeichnungen der hier gezeigten faltung weichen von den diagrammen im ersten und zweiten posting ab, außerdem werden neue bezeichnungen für die teilkanten eingeführt.)

Das nebenstehende diagramm zeigt die verhältnisse nach dem ersten falten. Die oberseite des papiers ist rötlich gefärbt, die unterseite bläulich. Gestrichelte linien deuten die bewegung der ecken beim falten an. Nach einer faltung ist die neue position einer ecke durch einen einfach gestrichenen, nach der zweiten faltung durch einen doppelt gestrichenen buchstaben gekennzeichnet.
Ein bestimmtes papierrechteck der breite b ist durch das seitenverhältnis p = b/a gekennzeichnet; a ist die länge der kurzen kante. Im folgenden werden die beziehungen zwischen einigen charakteristischen größen untersucht, die beim falten auftreten.
Der falzwinkel α (alpha) entsteht mit dem ersten falz bei X als ∠YXD' und bei Y als ∠XYB. Der apexwinkel β (beta) wird dann von den teilkanten YB und XD' gebildet. Diese kanten, längs denen die zweiten falze gefaltet werden, bilden mit den kurzen kanten a den kantwinkel γ (gamma).
Zwischen den winkeln und längen erkennt man die folgenden beziehungen:

α + β/2 = π/2 und β + γ = π/2 .

Daraus folgt auch, dass α = β/2 + γ ist.

Die lage des ersten falzes, und damit auch der falzwinkel α, ist durch die geometrie des rechtecks bestimmt—ecke D kommt als D' auf B zu liegen—was zu der beziehung p = tan α führt. Daraus ergibt sich direkt die größe des falzwinkels zu α = arctan p. Der apexwinkel β wird von den kanten YB und XD' gebildet; dann gilt auch cot β/2 = p oder auch β = 2·arctan(1/p). Aus der zeichnung folgt gleichermaßen, dass auch ∠CXD' = β ist, woraus sich cos β = v/u ergibt.

Die länge f des ersten falzes XY ergibt sich aufgrund der ähnlichkeit der beim falten auftretenden rechtwinkligen dreiecke aus der beziehung f/d = a/b = 1/p zu

f = d/p = (a/p)·√(p² + 1)

wobei BD = AC = d = √(a² + b²) = a√(p² + 1) die diagonale des papierrechtecks ist.

Die länge u der schenkel lässt sich mithilfe des rechtwinkligen dreiecks, in dem es hypotenuse ist, ebenfalls in abhängigkeit des seitenverhältnisses p ausdrücken als

u = (a/2p)·(p² + 1) = (a/2)·(p + 1/p) .

Für die länge v der anderen teilstrecke findet man gleichermaßen v = (a/2p)·(p² – 1). Das verhältnis der teilstrecken u und v ist also v/u = (p² – 1)/(p² + 1). Damit lässt sich dann auch der kantwinkel γ = arcsin[(p² – 1)/(p² + 1)] direkt vom verwendeten papierformat berechnen. Ähnlich gilt für den apexwinkel β = arccos[(p² – 1)/(p² + 1)].

Einige werte von p sind von besonderem interesse und werden hier kurz vorgestellt. Der triviale wert
von p = 1, d.h. ein quadrat mit b = a, ergibt einen diagonalen ersten falz und erlaubt keine zweite faltung. Zum papierformat DIN An, durch p = √2 gekennzeichnet, ist nur zu bemerken, dass zur bildung des gleichschenkligen dreiecks eine dritte faltung nötig wird, damit die ecken C" und A" innerhalb der dreiecksfläche zu liegen kommen, nämlich um den falz XY herum. Erst für p ≥ √3 (und solange p ≤ 1+√2 = 2.141... ist, wie weiter  unten gezeigt wird) genügen zwei falzprozesse, um ein dreieck zu bilden.

Die faltung eines rechtecks, dessen seiten im verhältnis des goldenen schnitts, g = (√5 + 1)/2, stehen, also p = g = 1.618..., benötigt damit also auch noch einen weiteren faltprozess, damit das gleichschenklige dreieck vollständig gefaltet ist; der apexwinkel ist dabei mit 63,4° nur wenig größer als beim gleichseitigen dreieck.

In diesem zusammenhang kann man auch fragen, für welches seitenverhältnis der erste falz die lange seite im verhältnis des goldenen schnitts teilt, also so, dass u/v = g = (√5 + 1)/2 oder v/u = (√5 – 1)/2 ist. Das wird für p = √[(g + 1)/(g – 1)] oder p = √(√5 + 2) = 2.058... erreicht.

Der übergang bei p = √3 ist übrigens auch dadurch gekennzeichnet, dass dabei der apexwinkel beta gleich dem faltwinkel alpha wird, β = α , und dass das gefaltete dreieck dann, wie bekannt, ein gleichseitiges ist. Eine andere interessante grenze wird für γ = β erreicht, also wenn der kantwinkel gamma gleich dem apexwinkel beta wird, was für ein seitenverhältnis von p = (√2 + 1) = 2,414... der fall ist. Dann liegt die ecke C" genau auf der unteren langen kante (und A" auf der oberen).

Außer den drei winkeln und dem teilstreckenverhältnis sowie der falzlänge f sind noch zwei andere größen von interesse: (i) die fläche F_∆ des gefalteten gleichseitigen dreiecks, und (ii) die position der ecken C" und A", die beim zweiten falzen der dreiecke XCB und YA'D' an den teilkanten XD' und YB sozusagen gespiegelt wurden.

Die fläche des gleichseitigen dreiecks ist die hälfte der raute BXDY, aus der es durch falten der ecke D auf B entsteht; die fläche der raute ist aber F_◊ = f·d/2 = a·u sodass

F_∆ = (a²/4p)·(p² + 1) = (a/2)²·(p + 1/p) .

Dieser ausdruck wird viel einfacher (und anschaulicher), wenn man die länge d der papierdiagonalen wieder einführt, womit man F_∆ = (d/2)²/p erhält.

Die flächen der beiden im zweiten falzschritt umgelegten dreiecke XCB und YA'D' ergänzen die rautenfläche zur größe des rechtecks a·b = a²·p. Im verhältnis zur rechteckfläche des faltpapiers F_ab = a²·p wird die dreiecksfläche dann

A_rel = F_∆/F_ab = (p² + 1)/(4p²) = (1 + 1/p²)/4 = (d/2b)² .

Für den fall des gleichseitigen dreiecks, also für p = √3, wird F_∆ = a²/√3 und A_rel = 1/3.

Die ecken C und A fallen beim zweiten falten auf die symmetrisch zum mittelpunkt M des rechtecks liegenden punkte C" und A".  Führt man ein achsenkreuz mit ursprung M ein, dessen achseneinheiten gleich a/2 sind, dann hat punkt C die koordinaten (p,1); nach der faltung geht C in C" über und der punkt C'' habe die koordinaten (x_S,y_S), d.h. C(p,1) → C"(x_S,y_S). C und A' werden dabei an den falzen XD' und YB gespiegelt.  Mithilfe der analytischen geometrie findet man für die koordinaten von C" als funktion des seitenverhältnisses p folgende ausdrücke

x_S = p(p² – 3)²/(p² + 1)²    und    y_S = [10p² – 3(p⁴ + 1)]/(p² + 1)² .

Für p = 1, also einem quadrat, bleibt C" auf C liegen, also x_S = y_S = 1. Für das anfangs diskutierte papierrechteck mit p = √3 (s. blog 1) fallen C" und A" zusammen auf den mittelpunkt M, d.h. x_S = y_S = 0. Wird p > √3, bewegen sich C" und A" auf die langen rechteckkanten zu, welche für p = (√2 + 1) = 2,414... erreicht werden, d.h. für C" wird y_S = –1. Für größere werte von p werden zur faltung des gleichschenkligen dreiecks zusätzliche faltungen nötig, um die über die langen kanten überstehenden ecken C" und A" zurück auf das dreieck zu bringen, ähnlich wie im bereich 1 ≤ p ≤ √3 für C' und A' nach dem ersten falten.

Die nebenstehende abbildung zeigt die lage von C" im xy–koordinatensystem an; auf der x–achse sind die werte von x_S und auf der y–achse die von y_S aufgetragen. Die parameterwerte p nehmen entlang der kurve von oben nach unten zu. Der erste punkt mit den koordinaten (1,1) entspricht dem wert p = 1, der punkt (0,0) im koordinaten-ursprung gehört zu p = √3 = 1,732... und der letzte punkt ganz unten, (0,4,–1), wird für p = 2,414... erreicht, wie oben diskutiert.

Gleichseitiges dreieck von beliebigem rechteck

Das überraschende bei der faltung eines gleichseitigen dreiecks mit dem einwickelpapier des kinderschoko-ladenriegels ist wohl, dass für das längenverhältnis der seiten dieses rechtecks—innerhalb der messgenauigkeit von etwa 0.2 mm—genau √3 = 1,732... gefunden wird. Es ist unwahrscheinlich, dass die dimensionen des riegels dieses verhältnis erfordern. Wenn es zu verpackungszwecken oder ähnlichem nicht schon ein genormtes papierformat gibt—wie z.b. das DIN A format für schreibpapier, für das √2 = 1,414... gilt—könnte man vielleicht annehmen, dass der verpackungsingenieur beim produktentwurf dieses besondere seitenverhältnis für das papierchen bewusst so gewählt hat, dass damit gleichseitige dreiecke gefaltet werden können.

Solche idiosynkratien sind sicher nicht selten. Wenn keine objektiven entscheidungskriterien vorhanden sind, wird gerne nach irgendwelchen persönlichen vorlieben gewählt: runde zahlen, ganzzahlige vielfache, etc. Andererseits könnte man beim verpacken von genussmitteln vermuten, dass rationale gesichtspunkte das format des einwickelpapiers bestimmen: minimaler materialverbrauch bei ausreichendem schutz des inhalts, etc. In beiden fällen erscheint es ungewöhnlich, dass ein irrationales seitenverhältnis wie √3 auftritt. Wenn es jedoch in der tat eine papiernorm wäre, was ist dafür dann die grundlage?

Beim DIN A papierformat soll beim halbieren eines papierbogens wieder das gleiche seitenverhältnis erhalten werden, also b/a = a/(b/2) oder b² = 2a² woraus b = a√2 folgt, wie bekannt. Aber wozu sollte ein seitenverhältnis von √3 dienen? – wozu wäre das gut?

Es gibt auch eine methode, ein gleichseitiges dreieck mit einem rechteckigen stück papier zu falten, das ein anderes seitenverhältnis als √3 hat. Der im vorangehenden blogpost unter teil B) (faltungsmethoden) beschriebene weg, die ecke D auf den mittelpunkt M zu falten, produziert an der ecke A einen falz, der als spitze direkt in dieser ecke A endet. Dann macht der falz AX einen winkel von genau 60° mit der unterkante AB.

Wenn das papier lang genug ist, kann der falz unter diesem winkel auch so erzeugt werden, dass zuerst die mittellinie des papiers, parallel zur langen seite, bestimmt wird, z.b. mit bleistift diese hilfslinie im abstand a/2 zur langen seite zeichnen, oder durch entsprechendes leichtes falten des papiers. Dieses verfahren ist im nebenstehenden diagramm dargestellt.

Man bringt eine ecke (hier die linke obere) auf diese mittellinie—was durch punktierte pfeile angedeutet ist—und verschiebt sie solange, bis beim falten der falz genau durch die andere ecke der kurzen seite a geht, unten links. Im diagramm sind mit grünen und blauen linien die falze (gestrichelt) und papierkanten eingezeichnet, die sich durch zu geringen oder zu weiten abstand des zielpunktes M von der seite a ergeben; in rot ist der fall gezeigt, in dem der falz genau durch die ecke geht und die kante der länge u zusammen mit dem falz und der unterkante selbst bereits das gleichseitige dreieck bilden (mit der verlängerung der kante u zur unteren papierkante).

Die bedingung, dass beim verschieben der ecke entlang der mittellinie der entstehende falz durch die gegenecke geht, ersetzt sozusagen den zweiten geometrischen ort, der auf der mittellinie die lage des mittelpunktes M gibt, wenn ein rechteck das seitenverhältnis von √3 hat, nämlich als mitte der langen seite b. Der so erzeugte falz macht genau den gleichen winkel von 60° mit der langen seite wie vorher AX mit AB, und der umgefaltete kurze abschnitt u der langen gegenkante gibt die richtung der dritten seite des gleichseitigen dreiecks, welche dann mit einem weiteren falz des papiers dort festgelegt wird. Hier hilft, dass der dabei zu faltende restliche abschnitt der langen gegenkante genau auf den ersten falz zu liegen kommt.

Auf diese weise kann schon mit einem papier, dessen breite b gerade nur der seite des gleichseitigen dreiecks entspricht, ein solches dreieck gefaltet werden (die kurze seite a ergibt ja seine höhe). Für dieses papier ist also ein minimales seitenverhältnis des faltpapiers b/a = (2/3)·√3 = 1,1547... erforderlich. Die abbildung rechts zeigt die verhältnisse. Der apex halbiert die lange seite b, was die faltung besonders einfach macht, weil die funktion der mittellinie weniger wichtig wird.
Bei diesem fast quadratischen papier formt die lange unterkante die dritte seite des dreiecks; diese seite wird dabei also nicht wie die beiden anderen seiten durch einen falz gebildet. Damit auch diese seite gerade schon aus einem vollen falz bestehen kann, muss b/a = √3 sein; das ist, wie im vorhergehenden blogpost besprochen, die kleinste größe für ein voll gefaltetes gleichseitiges dreieck. Mit papieren noch größerer breite, b/a > √3, bekommt man dreiecksseiten mit doppelfalzen an einer oder mehreren seiten.

Es ist interessant, dass ich zwei papierformate gefunden habe, die zwar nicht exakt, aber doch ziemlich genau gerade das doppelte des minimalen seitenverhältnisses zeigen, also b/a = (4/3)·√3 = 2,309..., nämlich—interessanterweise— wieder ein einwickelpapier der firma Ferrero für deren produkt einer gefüllten vollmilchschokolade mit waffel und nougatcremefüllung names "duplo", mit dem abmessungen b x a = 147,0 x 62,5 [mm], wobei allerdings die durchsichtige plastikfolie, auf der das rechteck mit der firmeninformation aufgedruckt ist, mit a = 67 mm etwas höher ist.

Und als zweites beispiel die eintrittskarte für filmvorführungen bei den diesjährigen 61. berliner filmfestspielen, der Berlinale, die, nachdem der einlasscoupon abgerissenen ist, 146,5 x 63,0 [mm] misst, siehe nebenstehendes foto. Diese beiden rechtecke haben seitenverhältnisse von 2,352 (bedruckt) bzw. 2,325, was sehr nahe am theoretisch erforderlichen wert von 2,309 liegt. Beide eignen sich vorzüglich zur faltung eines gleichseitigen dreiecks, was ich in den langen wartezeiten vor beginn der filme ausgiebig probiert habe. Das ist nebenstehend in einer bildfolge gezeigt in der auf dem ersten bild sowohl die vertikalen halbierungsfalze (mitte und beide hälften) als auch die eigentlichen dreiecksfalze zu sehen sind.

Man erkennt auch, dass die ersten, von den beiden oberen ecken ausgehenden falze durch den halbierungsfalz der rechten und linken hälften gehen. Diese falze sind im nächsten bild gezeigt; rechts liegt jetzt die ecke vorn, links ist sie hinter dem papier. Der nächste falz bringt die rechte papierhälfte nach unten und formt dabei die spitze des linken gleichseitigen dreiecks.
Im letzten schritt wird die grundseite gefalzt, indem man die untere spitze vorne herum nach oben bringt und auf die obere spitze legt.

Das format ist deshalb besonders gut dazu geeignet, weil sich durch halbierung der langen seite die einheit der seitenlänge des gleichseitigen dreiecks sowie durch weiteres halbieren auch die position des jeweiligen gegenüberliegenden apex dazu festlegen lässt. Damit wird die faltung besonders einfach; außerdem ist das ergebnis hochsymmetrisch bezüglich des faltungsbeginns von beiden kurzen seiten her.
Hier erhebt sich jedoch auch wieder die frage nach der absicht hinter den abmessungen. Beide so unterschiedlich verwendete papiere sind eigentlich genau gleich groß und folgen möglicherweise doch einer papiernorm. Dieser verdacht wird durch die beobachtung bestätigt, dass die LINDOR schokoladekugeln der firma Lindt mit einem einwickelpapier einzeln verpackt sind, dessen aluminisierter und blau bedruckter teil die abmessungen a = 54 mm bzw. 56 mm und b = 95 mm aufweisen. Das seitenverhältnis ergibt sich zu 1,732 + 0,027 bzw. –0,036, also nahe genug am wert von √3 als dass es bloßer zufall sein könnte.

Ein weiterer fall ist das einwickelpapier für die einzelnen stücke der Dove milk chocolate der firma Mars, für das meine tochter Janka folgendes entdeckt hat: Wenn man das papierchen so faltet, dass die längere seite halbiert wird, erhält man ebenfalls ein papierformat mit dem seitenverhältnis von 1,73... und kann damit auch leicht ein gleichseitiges dreieck falten.

Entdeckung und erste analyse

Als Pamela hier auf besuch war, hat sie mir gezeigt, wie man aus dem rechteckigen einwickelpapier eines einzelnen riegels einer kinderschokolade ein gleichseitiges dreieck falten kann. Diese kinderschokolade wird von Ferrero hergestellt; jedes einwickelpapierchen ist auf einer seite aluminisiert und auf der anderen rot bedruckt.

Einer ihrer bekannten in Köln, Florian, hatte ihr diese faltung vorgeführt und vermutet, das seitenverhältnis des papiers entspräche dem goldenen schnitt. Die folgende analyse zeigt:

(i) Die faltung eines einwickelpapiers dieser kinderschokolade kann in der tat exakt ein gleichseitiges dreieck ergeben, weil das seitenverhältnis des papiers wie dazu erforderlich gleich der quadratwurzel aus drei ist, b/a = √3 = 1,732... ; gemessen wurde a = 5,72 cm und b = 9,90 cm.

(ii) Die vermutung, das seitenverhältnis sei das des goldenen schnitts, b/a = (1+√5)/2 = 1,618... , ist zwar berechtigt, trifft jedoch hier nicht zu.

I. Gleichseitiges dreieck
Alle drei seiten sind gleich lang (hier mit d bezeichnet); ebenso sind die drei winkel alle gleich und betragen 60°.

A) Faltungsanalyse

Der erste Falz AX, der an der oberkante eine stumpfe ecke X erzeugt, muss so erfolgen, dass dieser mit der unterkante des papiers einen winkel von 60° bildet. Wie aus der zeichnung ersichtlich, geschieht das in der ecke A, wenn die seitenkante AD mit der länge so gelegt wird, dass sie mit der unterkante AB der länge b einen winkel von 30° bildet. Zum falten benötigt man entweder eine hilfslinie, längs der die seitenkante AD ausgerichtet werden kann, oder einen zielpunkt, auf den die ecke D zu liegen kommt.

Beides ist am einfachsten realisierbar, wenn die diagonale AC des papiers einen winkel von 30° mit der basis AB des papiers bildet, d.h., wenn der sinus des winkels ∠CAB gleich 1/2 ist. Dann fällt auch die ecke D genau auf den mittelpunkt M des papiers. Die diagonale bildet also mit den langen seiten den erforderlichen winkel, wenn das seitenverhältnis AB/BC gleich dem cotangens von 30° ist, d.h. wenn b/a = √3 ist, oder anders geschrieben,

b = a·√3 .   .   .   .   [1]

Nach dem falten halbiert dann die kante XM den stumpfen winkel AXC von 120° bei X, wodurch bei X ein weiterer winkel von 60° gebildet wird, der winkel ∠AXM. Die verlängerung der kante XM trifft die unterkante in einem punkt X'. Den falz XX' erhält man, wenn die ecke C auf die ecke A gebracht wird. Wie unten erwähnt, s. B) 2. 'symmetrische faltung', kann man auch als erstes den falz XX' falten, also die diagonal entgegengesetzten ecken A und C aufeinander legen. Mit den strecken AX = XX' = AX' = X'C sind damit bereits die seiten d des gleichseitigen dreiecks etabliert.

Aus symmetriegründen erhält man den punkt X' auch durch falten der ecke B auf den mittelpunkt M, wodurch der falz CX' entsteht, ähnlich wie bei AX oben.

B) Faltungsmethoden
Anstatt zuerst die diagonale zu falten, um dann die seite AD des papiers entlang dieser hilfslinie zu legen, kann man auch zuerst den mittelpunk M durch quer- und längsfalten des papiers bestimmen (wie im diagramm durch gestrichelte linien durch M angedeutet) und dann die ecke D auf M legen—M liegt ja auch auf der diagonalen AC—um den falz AX durch glattstreichen des somit gefalteten papiers zu erhalten.

Dann gibt es zwei verschiedene faltsequenzen, die beide zu einem gleichseitigen dreieck führen. Die beiden dreiecke sehen jedoch verschieden aus. Ohne beschränkung der allgemeinheit wird als der erste schritt definiert, die ecke D auf die mitte M zu falten, wie oben diskutiert, womit die erste seite des dreiecks erzeugt wird.

1. Asymmetrische faltung
a) Der zweite schritt ist dann, das papier entlang der strecke XM zu falten, wobei die ecke C auf die ecke A zu liegen kommt. Dies erzeugt die zweite seite des dreiecks und legt gleichzeitig den teilpunkt X' auf der unteren langen kante fest. Danach wird punkt B nach hinten auf die mitte M gelegt, was die dritte dreiecksseite X'C entlang der unteren teilkante AX' erzeugt. Damit ist das gleichseitige dreieck fertig gefaltet.  Von vorne ist das dreieck einheitlich, auf der rückseite markiert die freie kante BC die höhe des gleichseitingen dreiecks.
b) Anstatt im zweiten schritt das papier nach vorne zu falten, kann es auch nach hinten gefaltet werden, was ein dreieck ergibt, dessen höhe auf der rückseite durch die beiden kurzen kanten AD und BC markiert hat. Wenn das papier verschiedenfarbige vor- und rückseiten hat, geschieht das in den zwei verschiedenen farben.

2. Symmetrische faltung
Hier ist der zweite schritt, punktsymmetrisch zum ersten, durch falten der ecke B auf den mittelpunkt M den falz X'C zu machen. Das ergibt eine raute, die vier rechtwinklige dreiecke zeigt. Der letzte schritt ist das falten von C auf A, was den dritten falz XX' macht; das dreieck ist damit fertig.  Dieses dreieck zeigt auf beiden seiten die gleiche papierseite, also färbung.

Soweit ist beschrieben, wie Pamela und ich anfangs das gleichseitige dreieck falteten. Dazu musste aber zuerst die mitte M des rechtecks bestimmt oder eine diagonale gefaltet werden. Es geht jedoch noch viel einfacher, weil man nämlich mit der letztgenannten faltung beginnen kann: Im ersten schritt wird eine ecke des rechtecks auf die diagonal entgegengesetzte ecke gelegt, also z.b. A auf C gefaltet. Damit hat man mit dem falz XX' sofort eine seite des gleichseitigen dreiecks und braucht jetzt nur noch ecke B über die kante AX' zur mitte zu falten (falz X'C) und dann gleichermaßen die ecke D über die kante XC (falz AX).

3. Sechseck–faltung
Nach dem zweiten schritt der symmetrischen faltungsart kann man auch die beiden jetzt spitzen ecken A und C rückwärts auf den mittelpunkt M bringen. Das ergibt ein regelmäßiges sechseck mit rotationssymmetrisch alternierenden vorder- und rückseiten des papiers.

C) Weitere eigenschaften der faltung
Der erste falz legt den punkt X auf der langen kante fest, der diese so teilt, dass der längere teilabschnitt XC der seitenlänge d des gleichseitigen dreiecks entspricht; ebenso der zweite falz mit dem punkt X' bei der gegenüberliegenden kante, AX' = d. Das ist auch die länge der falze AX und CX' ebenso wie XX'.

Für die kürzeren teilabschnitte DX = X'B = c auf den oberen und unteren langen kanten des papiers gilt wegen der ähnlichkeit der rechtwinkligen dreiecke ABC und ADX die beziehung

c/a = a/b  .   .   .   .   [2]

oder a² = b·c . Zwischen a und b gibt es jedoch die oben abgeleitete beziehung, gl. [1], die für die faltung eines gleichseitigen dreiecks eine bedingung ist. Damit erhält man einen ausdruck für die länge c des teilungsabschnitts DX = X'B , nämlich

c = b/3  .   .   .   .   [3]

Dies folgt auch aus symmetrieüberlegungen, wenn man von den teilungspunkten X und X' auf die jeweils gegenüberliegenden kanten das lot fällt.

Die dreieckshöhe h hat übrigens auch die länge der kurzen kante a und diese ist gleich der halben länge der diagonalen AC, also h = a. Dies ist aus der oben beschriebenen (asymmetrischen) faltungsmethode direkt ersichtlich.

II. Vergleich mit anderen papierformaten


A) Der goldene schnitt
Als "goldener schnitt" wird die teilung einer strecke AB von der länge b in einem punkt X bezeichnet, der so liegt, dass die teilstrecken XB = c und AX = a sich zueinander genauso verhalten wie AX zur ganzen strecke AB, also

c/a = a/b  .   .   .   .   [4]

oder a² = b·c. Dies ist identisch mit gl. [2] oben, wo sie für die faltung des gleichseitigen dreiecks gefunden wurde.

Konstruiert man aus den längen a und b wieder ein rechteck wie hier gezeigt, so sieht man die analogie zwischen den zwei fällen, vgl. die beiden zeichnungen. Insbesondere ist Florians vermutung auf grund dieser beziehung gerechtfertigt, wenn sie auch nicht auf das seitenverhältnis des rechtecks zutrifft, das für die faltung eines gleichseitigen dreiecks taugt.

Der grund dafür ist, dass zwischen den beiden längen a und b hier eine andere beziehung besteht als mit gl. [1] für die bedingung gefunden wurde, einen winkel von 60° zu erhalten, nämlich b = a·√3. Beim goldenen schnitt hat man dagegen eine beziehung zwischen a, b und auch c, welche die teilung der strecke AB beschreibt, nämlich

c = b – a .   .   .   .   .    [5]

In gl. [4] eingesetzt, um c zu eliminieren, ergibt sich über b·(b – a) = a² die quadratische gleichung b² – a·b – a² = 0, woraus sich b im verhältnis zu a bestimmen lässt. Man erhält (die positive lösung)

b = a·(1 + √5)/2  .   .   .   .   [6]

was sich vom ergebnis für das gleichseitige dreieck, gl. [1], auch numerisch unterscheidet. Das viereck nach dem goldenen schnitt hat daher ein um 7% höhere seite a als das einwickelpapier.

Zum vergleich mit gl. [3] oben kann auch die kleine strecke XB = c als teil der ganzen strecke AB = b ausgedrückt werden. Man findet

c/b = (3 – √5)/2 = 0,382 .    .   .   .   .   [7]

Für die große teilstrecke AX = a ist das verhältnis a/b = 0,618, was sich aus gl. [6] ergibt; man sieht, dass die beiden werte sich zu eins addieren.